Ejemplo de cálculo de la matriz Jacobiana

Ejemplo de cálculo de la matriz Jacobiana.

Introducción:

En esta entrada vamos a realizar un ejemplo de cálculo de la matriz Jacobiana por tres métodos diferentes: Analítico, geométrico y el convencional y usando los resultados de la entrada anterior: Relación entre la Jacobiana analítica y geométrica podremos encontrar las equivalencia entre ellos.

Definición del problema:

Calcule la matriz Jacobiana del robot de la Fig. 1 el cual tiene los siguientes parámetros D-H: 

Fig. 1. Robot del Ejercicio.

Articulación	θ	d	a	α
1	q1	l1	0	90º
2	q2	0	0	-90º
3	0	q3	0	0

Tabla 1. Parámetros D-H del robot del ejercicio en la Fig. 1.

A partir de los parámetros D-H encontramos la matriz T de transformación homogénea del robot:

1. Solución analítica:

Aquí C₁ representa el coseno de q₁, S₂ el seno de q₂ y así sucesivamente.
La función atan2(Y, X) calcula el arcotantegente de cuatro cuadrantes tan^-1 de Y y X.

A partir de los valores de la posición y la orientación encontrados anteriormente, calculamos la matriz Jacobiana según su definición analítica:

2. Solución geométrica:

Tenemos que:

Convirtiendo la Javobiana analítica a la geométrica: 

De la entrada anterior llamada Relación entre la Jacobiana analítica y geométrica, sabemos que:

Siendo J_B:

En nuestro caso, para el robot del problema:

Por lo tanto:

De aquí tenemos que:

Siendo J_a la Jacobiana analítica encontrada en el numeral 1):

Al realizar la multiplicación de las matrices obtenemos:

Siendo la matriz de 6✕3 igual a la Jacobiana geométrica.

3. Solución convencional:

A partir de la tabla de parámetros D-H obtenemos:

De aquí calculamos:

De las matrices ⁰A_i-1 tenemos que (⁰A₀ es la matriz identidad):

Los vectores de posición ^i-1p_n son:

Ya que las articulaciones 1 y 2 son rotativas y la articulación 3 es prismática:

Siendo:

Por lo tanto:

Concatenando la J1| J2| J3 finalmente obtenemos la matriz Jacobiana convencional (igual a la geométrica):

Conclusiones:

Se ha calculado la matriz Jacobiana por tres métodos distintos y se ha encontrado que son equivalentes entre sí. De las respuestas se puede observar que la Jacobiana es dependiente de la configuración del robot.
A partir de la matriz Jacobiana posteriormente podremos determinar las singularidades del robot, analizar la redundancia, determinar la cinemática inversa de velocidades, relacionar las fuerzas en el actuador final con los torques o pares aplicados en las juntas o articulaciones y esta matriz se aplica en el modelo dinámico del robot y de allí la importancia de poderla calcular.

Relación entre la Jacobiana analítica y geométrica

Introducción.

En la asignatura de Fundamentos de Robótica de la Universidad Don Bosco se estudia la cinemática diferencial por medio de la Jacobiana analítica y la geométrica pero no se mostraba la relación entre estas dos, en esta entrada calculamos la relación entre las Jacobianas analítica y geométrica según como se ha definido el orden de los ángulos de Euler XYZ en (1).

Cálculo de la relación entre las Jacobianas.

En la asignatura de Fundamentos de Robótica (FRO111) [2] se define la matriz de velocidades en el extremo del robot de la siguiente forma:

(1)

Aquí se definen  y   a diferencia de otras definiciones con ángulos de orientación cardán [1] y en donde comúnmente se tiene:  y .

Por lo tanto, la siguiente matriz de rotación [2] para nuestra definición y considerando ángulos de Tait-Bryan o de navegación, es:

(2)

Sabemos que   por lo que podemos calcular Ω e identificar los términos de la matriz resultante comparándolos con:

(3)

Si el robot solo tuviera tres grados de libertad, podemos plantear la siguiente transformación [1]:

(4)

Siendo J_B:

(5)

Se puede construir una matriz de transformación de 6✕6 en base a J_B [1] que pase de la Javobiana analítica a la geométrica:

(6)

Debido a que:

(7)

Llegamos a la ecuación matricial que logra convertir la Jacobiana analítica a la Jacobiana geométrica:

(8)

Conclusiones.

Se encontró la matriz específica J_B en (5) para calcular la relación entre las matrices Jacobiana analítica y la geométrica (8) para poder ser usada en la asignatura de Fundamentos de Robótica de la UDB y así comprobar los cálculos de la Jacobiana que se hagan por cualquier método con los resultados del otro método.

Referencias.

[1] Apuntes de Cinemática Diferencial. Miguel Hernando. Universidad Politécnica de Madrid. 2017.
[2] Clases de Fundamentos de Robótica. Manuel Cardona. Universidad Don Bosco. 2016.

Puesta a punto de una Máquina Granalladora

Puesta a punto de una máquina granalladora.

Fig. 1. Granalladora Wheelabrator.

Introducción

Como parte de los servicios que brinda el Instituto de Investigación e Innovación en Electrónica (IIIE) de la Universidad Don Bosco a las empresas en el área de automatización de procesos industriales, se nos contactó para la puesta a punto de una máquina granalladora (Fig. 1), la cual tiene por tarea el quitar el óxido de las láminas de acero utilizadas para la fabricación de diversos productos tales como: tanques horizontales, verticales y a presión, equipos de transporte, boyas y otros equipos especiales y de proceso para la industria.

La máquina, que fue traída de Europa, es una Wheelabrator y sería montada por un ingeniero mecánico de nacionalidad mexicana pero debido a su falta de experiencia en el área de automatización se nos pidió ayuda en la configuración y puesta a punto de la máquina y el sistema de transporte de láminas asociado. 

En esta entrada se muestran los puntos claves para lograr la puesta a punto de la máquina granalladora Wheelabrator.

Descripción del problema

Fig. 2. Máquina granalladora y su alimentador de rodillos.

La máquina granalladora (Fig. 2) tiene un alimentador de rodillo que es controlado por tres variadores de velocidad (Fig. 3) y el problema es que la velocidad de estos alimentadores no estaba sincronizada con la de la máquina ganalladora.

Fig. 3. Tablero de control con los variadores de velocidad.

Solución:

Para sincronizar el transportador de rodillos se tuvo que buscar el manual del variador de velocidad y ajustar la velocidad máxima del motor al cambiar el parámetro correspondiente en cada variador, luego se realizaron pruebas de alimentación de láminas de acero al sistema para lograr el mejor ajuste en la sincronía.

Conclusiones:

En el Instituto de Investigación e Innovación en Electrónica de la Universidad Don Bosco se brindan capacitaciones para las empresas en el tema de Variadores de Velocidad de Motores para las marcas OMRON y Siemens y estas competencias se pueden usar para la parametrización de otras marcas y así resolver los problemas en la instalación de nuevos equipos o maquinaria usada comprada en el extranjero.

Granulometría Y Procesamiento Digital De Imágenes

Granulometría y Procesamiento Digital de Imágenes

1. Introducción

Como parte del proyecto de "Desarrollo de un Sistema para el Control de Calidad de Cristales de Azúcar Utilizando Visión Artificial" financiado por el Fondo de Investigación de Educación Superior “FIES”, la Universidad Don Bosco y la universidad José Simeón Cañas UCA de El Salvador realizamos un sistema (hardware y Software) para dicha tarea por lo que aquí desarrollo algunos conceptos a tomar en cuenta para la tarea de medición de los cristales y se analiza si se pueden implementar estos conceptos en la cámara SBOC-Q-R3C-WB que posee el laboratorio iCIM de la Universidad Don Bosco.

2. Granulometría de los cristales de azúcar. Aspectos generales

El tamaño, la uniformidad y otras características de los cristales de azúcar guardan relación directa con la forma en que se realizan procesos tales como la centrifugación, la refinación y el almacenamiento. El tamaño de los cristales está relacionado además a propiedades reológicas, a la solubilidad, a la flotabilidad, a la formación de terrones y al comportamiento higroscópico del producto [1].

3. Calidad de los Cristales de Azúcar

Un buen cristal de azúcar se caracteriza por un grano duro, uniforme y de tamaño regular, libre de grano triturado o conglomerados. Las dimensiones esperadas oscilan entre los 0.6 a 1 mm [2]. También las características geométricas son muy importantes porque definen su deterioro, un grano regular, uniforme y bien formado purgará más libremente en las máquinas centrífugas. Si esto no se logra pueden ocurrir varios problemas, por ejemplo, el alargamiento de los cristales o los conglomerados o acumulaciones de granos retienen mieles que pueden servir como medio para el crecimiento microbiano.   

La forma de los cristales es importante, además, porque determina cómo fluye en procesos de llenado de bolsas, cuanta tendencia a crear polvo tienen, como fluyen en procesos de empacado, cuan abrasivos pueden ser, y cuales son sus posibles propiedades ópticas, entre otras características de comportamiento [3]. Es importante resaltar que las mismas tienen un impacto sensible en diversos procesos productivos de la industria de la caña de azúcar.

Para evaluar la uniformidad de los cristales se hace uso de los llamados descriptores de forma, que pueden obtenerse a partir del procesamiento y análisis de imágenes utilizando herramientas computacionales.

A continuación, se presentan algunas definiciones de descriptores de forma. Al respecto, es importante mencionar que se trata de una lista de factores de forma bidimensionales, la que no es exhaustiva en modo alguno, ya que se han seleccionado aquellos que tienen mayor incidencia en los alcances y objetivos de dicho proyecto.

3.1. Área

El área de la partícula es calculada como la suma de las áreas de cada uno de los pixeles, a_p, contenidos dentro de los bordes de la partícula, tal como se expresa en la ecuación (1.1) [4]. Debe notarse que las unidades de A están en pixeles, pero asumiendo que el sistema ha sido calibrado con un micrómetro, el área puede convertirse a unidades de µm².

Fig. 1.1. Visualización del área de la partícula (A), diámetro circular equivalente (d_A) y perímetro de la misma.

(1.1)

3.2. Diámetro circular equivalente

Es definido como el diámetro de un círculo con la misma área de la partícula [5]. Así, una vez el área, A, de la partícula, ha sido medida, el área del diámetro equivalente (d_A) puede ser calculado mediante la ecuación (1.2). Ver nuevamente la Fig. 1.1.

 (1.2)

3.3. Diámetros de Feret
Es la distancia normal entre dos planos paralelos tangentes a la superficie de la partícula (en 3D) o dos rectas paralelas tangentes al contorno de la partícula (2D); estos valores dependen de la orientación de la partícula y una única medida tiene poco significado. El diámetro máximo de Feret, x_Fmáx también conocido como distancia máxima en algunas referencias, está definido como la mayor distancia entre cualesquiera dos rectas paralelas, tangentes a la partícula. De manera similar, el diámetro mínimo de Feret, x_Fmín, también conocido como  distancia mínima, es definido como la distancia más corta entre cualesquiera dos rectas paralelas tangentes a la partícula [4]. Las unidades de los diámetros de Feret son frecuentemente expresadas en μm. Ver Fig. 1.2.
En este proyecto se realiza la medición de dos valores normales mutuamente perpendiculares para cada cristal, de manera que la área del rectángulo envolvente de cada partícula llegue a ser la mínima, determinada por el diámetro mínimo de Feret, x_Fmín,y que aquí llamaremos longitud del eje menor, y la dimensión perpendicular a él, que es la que conoceremos como longitud del eje mayor.

Fig. 1.2. Visualización de diámetros de Feret.

3.4. Longitudes de eje mayor y eje menor
En el presente trabajo dos descriptores de forma fundamentales son la longitud del eje mayor, x_Lmáx, y la longitud del eje menor, x_Lmín, de la elipse equivalente que tiene momentos centrales normalizados, hasta de segundo orden, iguales a los de la forma (o región) bajo análisis. Dicha elipse tiene su centro en el centroide de la forma y se conoce también como Elipse de Legendre y es usada a menudo en lugar de la forma o imagen bidimensional original [7,6]. Ver la Fig. 1.3.

Fig. 1.3. Visualización del eje mayor, x_Lmáx, y del eje menor, x_Lmín, de la elipse equivalente a la forma bidimensional proyectada de la partícula.

Una de las aplicaciones útiles de la elipse equivalente es que puede proporcionar información sobre la orientación angular de la figura original. Siendo dicha orientación igual al ángulo que forma el eje mayor de la elipse equivalente con relación al eje x.

3.5. Caja o rectángulo envolvente mínimo (bounding box mínima)
En el presente trabajo, resulta útil establecer alrededor de cada cristal de azúcar lo que se conoce como bounding box, que es un rectángulo de área mínima cuyos ejes de simetría coinciden con la dirección de los ejes mayor y menor de una elipse de Legendre particular asociada a cada cristal. Dicha elipse tiene momentos centrales normalizados, hasta de segundo orden, iguales a los de la forma (o región) bajo análisis [3, 4]. Además, tiene su centro en el centroide de cada cristal. Ver la Fig. 1.4.

Fig. 1.4. Bounding box y su relación con la elipse de Legendre.

Es conveniente aclarar, sin embargo, que en el presente documento, la longitud del lado mayor del bounding box se denomina eje mayor, o longitud del eje mayor, o simplemente longitud (length). De modo similar, la longitud del lado menor del bounding box se denomina eje menor, longitud del eje menor, o simplemente ancho (width). Ver la Fig. 1.4.

El bounding box toma en cuenta la inclinación de la partícula respecto de un eje de referencia. Por ello es un rectángulo de área mínima [5].

3.6. Elongación (Relación de aspecto)

La relación de aspecto (relación axial o relación de elongación de Heywood) es la relación del diámetro máximo de Feret entre el diámetro mínimo de Feret, o viceversa. Para este blog tomamos la primera definición y usamos los valores de longitud de los ejes mayor y menor para su cálculo:

(1.3)

En nuestro caso tendrá valores entre 1 e ∞. Es una medida del alargamiento o aplanamiento de la estructura convexa de las partículas; debemos tener en cuenta que solo para los esferoides alargados (barras) la elongación calculada por el procesamiento de la imagen en 2D se acerca a la verdadera elongación en 3D.

3.7. Factor de Rectangularidad o de Coincidencia

El factor de rectangularidad de una región, MF, se define, tal como se expresa en (1.4), como el cociente entre el área de la región y el área de su rectángulo envolvente mínimo [8].

 (1.4)

La importancia del factor de rectangularidad o coincidencia radica en que es insensible a las traslaciones, rotaciones o cambios de escala.  

Conviene finalizar este sondeo general, sobre descriptores de forma, indicando que el listado proporcionado acá está lejos de ser exhaustivo, pero se ha tratado de presentar los factores más cercanos a los objetivos del relacionados con el procesamiento de los cristales de azúcar. Al respecto, no está demás decir que la nomenclatura que se emplea en la industria es diversa, aunque tiende a una relativa unificación, ello debido a la existencia de estándares, tales como el ISO 9276-6.

3.8. Descriptores de Forma de la cámara del iCIM3000

La cámara SBOC-Q-R3C-WB marca FESTO que posee la estación de ensamblaje del iCIM3000 de la Universidad Don Bosco tiene, en su software (CheckOpti) de procesamiento, varias herramientas, estas herramientas se pueden dividir en los siguientes grupos según el método utilizado para calcular las características:

• Herramientas de área (ROI: Región de interés, CTool: Herramienta de contornos, Buscador de Blobs, etc.).
• Herramientas de medición (medición única, medición múltiple, herramienta de Rayos, etc.).
• Herramientas matemáticas (función matemática/lógica, función de geometría, transformación de coordenadas, etc.).
• Funciones basadas en imágenes de la cámara (coincidencia de patrones, detección de brillo, detección de color, etc.).

En particular nos interesa la herramienta de área llamada "Buscador de Blobs" que serviría para encontrar los descriptores de forma de los cristales. Esta herramienta calcula coordenadas, ángulos, áreas, circunferencia y otras características basadas en la forma de los blobs (en nuestro caso cristales).

Características individuales para los blobs seleccionados:

Los blobs seleccionados son aquellos que coinciden con las configuraciones en las pestañas "Filtro" y "Selección". Las siguientes funciones se calculan varias veces según corresponda a la cantidad de blobs seleccionados y se agregan a la lista de características:

No.	Nombre	Descripción	A partir del firmware ...
1	Area	Número de todos los píxeles que pertenecen al blob (contorno/fondo).	3.2
2	X coord. left 1)	Coordenada X del píxel situado más a la izquierda que pertenece al blob (contorno/fondo).	3.2
3	Y coord. left 1)	Coordenada Y del píxel situado más a la izquierda que pertenece al blob (contorno/fondo).	3.5
4	X coord. top 1)	Coordenada X del píxel superior (izquierdo) que pertenece al blob (contorno/fondo).	3.5
5	Y coord. top 1)	Coordenada Y del píxel superior (izquierdo) que pertenece al blob (contorno/fondo).	3.2
6	X coord. right 1)	Coordenada X del píxel situado más a la derecha que pertenece al blob (contorno/fondo).	3.2
7	Y coord. right 1)	Coordenada Y del píxel situado más a la derecha que pertenece al blob (contorno/fondo).	3.5
8	X coord. bottom 1)	Coordenada X del píxel inferior (izquierdo) que pertenece al blob (contorno / fondo).	3.5
9	Y coord. bottom 1)	Coordenada Y del píxel inferior (izquierdo) que pertenece al blob (contorno/fondo).	3.2
10	X coord. center 1)	Coordenada X del punto central entre los píxeles más a la izquierda y más a la derecha que pertenecen al blod (contorno/fondo). Derivado de (coordenada X a la derecha + coordenada X a la izquierda) / 2.	3.3
11	Y coord. center 1)	Coordenada Y del punto central entre los píxeles superiores e inferiores que pertenecen al blob (contorno/fondo). Derivado de (coordenada Y arriba + coordenada Y abajo) / 2.	3.3
12	X coord. center of gravity 1)	Coordenada X del centro del área de los píxeles que pertenecen al blob (contorno/ fondo) (cuando se considera el píxel como un centro de masa).	3.2
13	Y coord. center of gravity 1)	Coordenada Y del centro del área de los píxeles que pertenecen al blob (contorno/ fondo) (cuando se considera el píxel como un centro de masa).	3.2
14	Angle of inertia axis 1)	Ángulo en grados con respecto a la horizontal del eje principal de inercia (cuando se considera un píxel como punto de masa). Atención: El ángulo no es único por +/-180° ya que una determinación única no es posible.	3.2
15	Circumference	Longitud total del contorno exterior formado por los píxeles que pertenecen al blob (contorno/fondo). Nota: los agujeros en el contorno o los contornos en los agujeros también contribuyen a la circunferencia. Nota: La circunferencia también incluye píxeles que tocan los bordes de la región de la herramienta.	3.4
16	Compact	Relación entre la circunferencia y el área (círculo = 100, cuadrado = 127) (100 * circunferencia * circunferencia) / (4Pi * área)	3.4
17	Pol. min. distance 1)	Distancia más corta desde el centro de gravedad a un píxel del contorno externo del blob.	3.4
18	X coord. pol. min 1)	Coordenada X del píxel del contorno externo que pertenece al blob que dio como resultado la Pol. min. distance.	3.4
19	Y coord. pol. min 1)	Coordenada Y del píxel del contorno externo que pertenece al blob que dio como resultado la Pol. min. distance.	3.4
20	Angle pol. min 1)	Ángulo a la horizontal de la línea a través del centro de gravedad (X/Y) y Pol. min. (X/Y)	3.4
21	Pol. max. distance 1)	Distancia más larga desde el centro de gravedad a un píxel de contorno externo del blob.	3.4
22	X coord. pol. max 1)	Coordenada X del píxel del contorno externo que pertenece al blob que dio como resultado la Pol. max. distance.	3.4
23	Y coord. pol. max 1)	Coordenada Y del píxel del contorno externo que pertenece al blob que dio como resultado la Pol. max. distance.	3.4
24	Angle pol. max 1)	Ángulo a la horizontal de la línea a través del centro de gravedad (X/Y) y el pol. max. (X/Y)	3.4

1) La característica admite la transformación de coordenadas automática a partir de la versión de firmware 3.5.

Con respecto a los parámetros que necesitamos para realizar el análisis granulométrico podemos decir que el software CheckOpti:

1. Calcula el Area de cada cristal
2. No calcula el Diámetro Circular Equivalente, pero a partir del dato de área de cada blob se puede obtener.
3. No se calculan Diámetros de Feret, por lo tanto tampoco se tiene el diámetro mínimo de Feret.
4. No se calculan las Longitudes de eje mayor y eje menor. No se calculan momentos de inercia.
5. No se calcula la Caja o rectángulo envolvente mínimo (bounding box mínima) ya que no se calcula el Diámetros de Feret y luego no se rota el blob para encotrar el mínimo.
6. Es obvio que ya que no se tienen los anteriores parámetros no se puede calcular la Elongación (Relación de aspecto) ni el Factor de Rectangularidad o de Coincidencia.

4. Conclusiones

En este caso se concluye que la cámara SBOC-Q-R3C-WB que tenemos en el laboratorio iCIM de la UDB no puede ser fácilmente configurada para realizar el análisis granulométrico tal como el planteado para medir la calidad de los cristales de azúcar y en ese caso se debe buscar otro hardware y sofware con posibilidad de programarse, tal como las de National Instruments o una cámara conectada a una PC y el software OpenCV y un lenguaje de programación tal como C++ u otro similar.

Referencias

1. Melcion J.P., La granulométrie de l’aliment: príncipe, mesure et obtention. INRA Prod. Anim., 2000, 13 (2), 81 – 97
2. C. James, P. Cheng, C. Chung. Cane Sugar Handbook: A Manual for Cane Sugar Manufacturers and Their Chemist. John Wiley & Sons, 1993.
3. Bodycomb, J. Image Analysis: Evaluating particle shape. Webinar. Horiba Scientific. http://www.horiba.com/scientific.
4. Olson, E. Particle Shape Factors and Their Use in Image Analysis–Part 1: Theory. Journal of GXP Compliance, 15(3):85-96, 2011.
5. Özen, M. “Investigation of relationship between aggregate shape parámeters and concrete strength using image techniques”. Master Thesis. Middle East Technical University. Turkey, April 2007.
6. ISO International Standard ISO 9276-6. Representation of results of particle size analysis- Part 6. Descriptive and quantitative representation of particle shape and morphology. First Edition, 2008-09-15.
7. Mikli, V., Käerdi, H., Kulu, P., Besterci, M.: Characterization of Powder Particle Morphology, Proc. Estonian Acad. Sci. Eng., 7 (2001), pp. 22-34.
8. P.L. Rosin. Measuring rectangularity. Machine Vision and Applications, 11:191-196, 1999.