Relación entre la Jacobiana analítica y geométrica

Introducción.

En la asignatura de Fundamentos de Robótica de la Universidad Don Bosco se estudia la cinemática diferencial por medio de la Jacobiana analítica y la geométrica pero no se mostraba la relación entre estas dos, en esta entrada calculamos la relación entre las Jacobianas analítica y geométrica según como se ha definido el orden de los ángulos de Euler XYZ en (1).

Cálculo de la relación entre las Jacobianas.

En la asignatura de Fundamentos de Robótica (FRO111) [2] se define la matriz de velocidades en el extremo del robot de la siguiente forma:

(1)

Aquí se definen  y   a diferencia de otras definiciones con ángulos de orientación cardán [1] y en donde comúnmente se tiene:  y .

Por lo tanto, la siguiente matriz de rotación [2] para nuestra definición y considerando ángulos de Tait-Bryan o de navegación, es:

(2)

Sabemos que   por lo que podemos calcular Ω e identificar los términos de la matriz resultante comparándolos con:

(3)

Si el robot solo tuviera tres grados de libertad, podemos plantear la siguiente transformación [1]:

(4)

Siendo J_B:

(5)

Se puede construir una matriz de transformación de 6✕6 en base a J_B [1] que pase de la Javobiana analítica a la geométrica:

(6)

Debido a que:

(7)

Llegamos a la ecuación matricial que logra convertir la Jacobiana analítica a la Jacobiana geométrica:

(8)

Conclusiones.

Se encontró la matriz específica J_B en (5) para calcular la relación entre las matrices Jacobiana analítica y la geométrica (8) para poder ser usada en la asignatura de Fundamentos de Robótica de la UDB y así comprobar los cálculos de la Jacobiana que se hagan por cualquier método con los resultados del otro método.

Referencias.

[1] Apuntes de Cinemática Diferencial. Miguel Hernando. Universidad Politécnica de Madrid. 2017.
[2] Clases de Fundamentos de Robótica. Manuel Cardona. Universidad Don Bosco. 2016.