Ejemplo de cálculo de la matriz Jacobiana

Ejemplo de cálculo de la matriz Jacobiana.

Introducción:

En esta entrada vamos a realizar un ejemplo de cálculo de la matriz Jacobiana por tres métodos diferentes: Analítico, geométrico y el convencional y usando los resultados de la entrada anterior: Relación entre la Jacobiana analítica y geométrica podremos encontrar las equivalencia entre ellos.

Definición del problema:

Calcule la matriz Jacobiana del robot de la Fig. 1 el cual tiene los siguientes parámetros D-H: 

Fig. 1. Robot del Ejercicio.

Articulación	θ	d	a	α
1	q1	l1	0	90º
2	q2	0	0	-90º
3	0	q3	0	0

Tabla 1. Parámetros D-H del robot del ejercicio en la Fig. 1.

A partir de los parámetros D-H encontramos la matriz T de transformación homogénea del robot:

1. Solución analítica:

Aquí C₁ representa el coseno de q₁, S₂ el seno de q₂ y así sucesivamente.
La función atan2(Y, X) calcula el arcotantegente de cuatro cuadrantes tan^-1 de Y y X.

A partir de los valores de la posición y la orientación encontrados anteriormente, calculamos la matriz Jacobiana según su definición analítica:

2. Solución geométrica:

Tenemos que:

Convirtiendo la Javobiana analítica a la geométrica: 

De la entrada anterior llamada Relación entre la Jacobiana analítica y geométrica, sabemos que:

Siendo J_B:

En nuestro caso, para el robot del problema:

Por lo tanto:

De aquí tenemos que:

Siendo J_a la Jacobiana analítica encontrada en el numeral 1):

Al realizar la multiplicación de las matrices obtenemos:

Siendo la matriz de 6✕3 igual a la Jacobiana geométrica.

3. Solución convencional:

A partir de la tabla de parámetros D-H obtenemos:

De aquí calculamos:

De las matrices ⁰A_i-1 tenemos que (⁰A₀ es la matriz identidad):

Los vectores de posición ^i-1p_n son:

Ya que las articulaciones 1 y 2 son rotativas y la articulación 3 es prismática:

Siendo:

Por lo tanto:

Concatenando la J1| J2| J3 finalmente obtenemos la matriz Jacobiana convencional (igual a la geométrica):

Conclusiones:

Se ha calculado la matriz Jacobiana por tres métodos distintos y se ha encontrado que son equivalentes entre sí. De las respuestas se puede observar que la Jacobiana es dependiente de la configuración del robot.
A partir de la matriz Jacobiana posteriormente podremos determinar las singularidades del robot, analizar la redundancia, determinar la cinemática inversa de velocidades, relacionar las fuerzas en el actuador final con los torques o pares aplicados en las juntas o articulaciones y esta matriz se aplica en el modelo dinámico del robot y de allí la importancia de poderla calcular.